о невозможных монстрах
Mar. 28th, 2022 06:12 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
maxvlТеоремы в математике часто бывают вида "Любой объект вида A, обладающий свойствами B и C, также обладает свойством D". Часто утверждение такого вида доказывают так: рассматривают объект вида A со свойствами B и C, и напрямую доказывают, что также для него верно D. Но часто бывает и по-другому, доказательство от противного. Рассмотрим гипотетический объект вида A, для которого верно B и C, а D неверно, и докажем, что такого не может быть, это какой-то невозможный монстр.
При этом демонстрация того, что это "невозможный монстр", может быть весьма нетривиальной, и использовать смежные и даже далекие от исходного объекта A области математики. Скажем, в знаменитой теореме Ферма "невозможный монстр" - это такие натуральные числа x,y,z,n, так что n > 2 и x^n+y^n=z^n. Но для того, чтобы доказать, что так не может быть, сначала переводят такого гипотетического монстра на язык совсем других математических объектов - эллиптических кривых и модулярных форм - и получают аналогичного "монстра" там, и доказывают, что его не может быть.
В случае теоремы Ферма, у которой очень длинное и тяжелое доказательство, известен только один фундаментальный подход к тому, чтобы ее доказать - через язык эллиптических кривых и модулярных форм. Но есть много более простых и более важных теорем, у которых есть много разных доказательств, использующих совершенно разные области математики. Можно ли в таком случае говорить о том, почему "на самом деле" верно, что объект A со свойстами B и C имеет также свойство D?
В качестве аналогии, представьте себе человека высотой в 20 метров, и во всех внешних и внутренних размерах соответственно больше, но в остальном устроенного как обычный человек. Может ли такое быть? Самый высокий человек в мире ростом примерно два с половиной метра (исторически - 272 см), и это связано аномальным количеством гормона роста, которое производит его мозг, из-за опухоли в мозгу. Может, если бы каким-то образом вырабатывалось еще больше гормона роста, мог бы вырасти человек ростом в 5 метров, 10, 20 метров?
Английский биолог Дж.Б.С.Холдейн написал знаменитое эссе - очень рекомендую - "On Being the Right Size" (русский перевод: "О целесообразности размера", вторая статья на этой странице). Он объясняет там причины, почему у человека такой рост, как есть, почему насекомые не могут быть слишком большими, как внутреннее устройство скелета, дыхания, кровообращения разных животных соответствует их размерам. Если увеличить размер человека в 10 раз, то высота увеличится в 10 раз, площадь поперечного сечения костей в 100 раз, а объем и масса в 1000 раз. Значит, в 10 раз больше веса будет давить на тот же квадратный сантиметр кости, и такой человек будет ломать себе кости ног с каждым шагом. Но есть и другие причины: с нашим давлением крови и устройством сердечных мускулов сердце не сможет поднимать кровь на высоту 20 метров. Кислорода всему телу нужно будет в 1000 раз больше, а "труба", по которой он проходит в легкие, увеличится в поперечном сечении лишь в 100 раз. И так далее.
Человек высотой в 20 метров, но в остальном устроенный обычно - "невозможный монстр". Можно ли сказать, какова главная фундаментальная глубинная причина того, почему он невозможен? Давление массы тела на кости? Высота столба крови? Работа легких? Еще другие причины? Нет, каждая из них "доказывает", почему это невозможно, выбирай на вкус.
В математике довольно обычной является ситуация, когда у глубокой и важной теоремы есть несколько существенно разных доказательств, использующих разные методы и связи с разными областями математики. Часто бывают статьи вида "Новое доказательство такой-то теоремы". Это само по себе интересно, мне кажется, с философской точки зрения - то, что математики любят находить новые доказательства уже известного и ценят их.
Когда такие разные доказательства по сути демонстрируют абсурдность разных "невозможных монстров" из разных областей математики, возникает немного странная ситуация. С одной стороны, это замечательно, что есть очередная связь между разными областями математики, очередной пример и полезный образец того, как знания из алгебры применить к анализу, или из топологии - к комбинаторике. С другой, эти связи как будто "фантомные", ведь связаны между собой "объекты"-монстры, которые на самом деле не существуют и не могут существовать, что мы собственно и доказываем!
P.S. Интересный список глубоких теорем с существенно различными доказательствами есть на math.overflow. Такой же, но для относительно элементарных теорем - на math.stackexchange.
При этом демонстрация того, что это "невозможный монстр", может быть весьма нетривиальной, и использовать смежные и даже далекие от исходного объекта A области математики. Скажем, в знаменитой теореме Ферма "невозможный монстр" - это такие натуральные числа x,y,z,n, так что n > 2 и x^n+y^n=z^n. Но для того, чтобы доказать, что так не может быть, сначала переводят такого гипотетического монстра на язык совсем других математических объектов - эллиптических кривых и модулярных форм - и получают аналогичного "монстра" там, и доказывают, что его не может быть.
В случае теоремы Ферма, у которой очень длинное и тяжелое доказательство, известен только один фундаментальный подход к тому, чтобы ее доказать - через язык эллиптических кривых и модулярных форм. Но есть много более простых и более важных теорем, у которых есть много разных доказательств, использующих совершенно разные области математики. Можно ли в таком случае говорить о том, почему "на самом деле" верно, что объект A со свойстами B и C имеет также свойство D?
В качестве аналогии, представьте себе человека высотой в 20 метров, и во всех внешних и внутренних размерах соответственно больше, но в остальном устроенного как обычный человек. Может ли такое быть? Самый высокий человек в мире ростом примерно два с половиной метра (исторически - 272 см), и это связано аномальным количеством гормона роста, которое производит его мозг, из-за опухоли в мозгу. Может, если бы каким-то образом вырабатывалось еще больше гормона роста, мог бы вырасти человек ростом в 5 метров, 10, 20 метров?
Английский биолог Дж.Б.С.Холдейн написал знаменитое эссе - очень рекомендую - "On Being the Right Size" (русский перевод: "О целесообразности размера", вторая статья на этой странице). Он объясняет там причины, почему у человека такой рост, как есть, почему насекомые не могут быть слишком большими, как внутреннее устройство скелета, дыхания, кровообращения разных животных соответствует их размерам. Если увеличить размер человека в 10 раз, то высота увеличится в 10 раз, площадь поперечного сечения костей в 100 раз, а объем и масса в 1000 раз. Значит, в 10 раз больше веса будет давить на тот же квадратный сантиметр кости, и такой человек будет ломать себе кости ног с каждым шагом. Но есть и другие причины: с нашим давлением крови и устройством сердечных мускулов сердце не сможет поднимать кровь на высоту 20 метров. Кислорода всему телу нужно будет в 1000 раз больше, а "труба", по которой он проходит в легкие, увеличится в поперечном сечении лишь в 100 раз. И так далее.
Человек высотой в 20 метров, но в остальном устроенный обычно - "невозможный монстр". Можно ли сказать, какова главная фундаментальная глубинная причина того, почему он невозможен? Давление массы тела на кости? Высота столба крови? Работа легких? Еще другие причины? Нет, каждая из них "доказывает", почему это невозможно, выбирай на вкус.
В математике довольно обычной является ситуация, когда у глубокой и важной теоремы есть несколько существенно разных доказательств, использующих разные методы и связи с разными областями математики. Часто бывают статьи вида "Новое доказательство такой-то теоремы". Это само по себе интересно, мне кажется, с философской точки зрения - то, что математики любят находить новые доказательства уже известного и ценят их.
Когда такие разные доказательства по сути демонстрируют абсурдность разных "невозможных монстров" из разных областей математики, возникает немного странная ситуация. С одной стороны, это замечательно, что есть очередная связь между разными областями математики, очередной пример и полезный образец того, как знания из алгебры применить к анализу, или из топологии - к комбинаторике. С другой, эти связи как будто "фантомные", ведь связаны между собой "объекты"-монстры, которые на самом деле не существуют и не могут существовать, что мы собственно и доказываем!
P.S. Интересный список глубоких теорем с существенно различными доказательствами есть на math.overflow. Такой же, но для относительно элементарных теорем - на math.stackexchange.
